График производной функции

С помощью графика производной функции можно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции Для этого достаточно помнить, что:

функция возрастает на промежутках, где производная
функция убывает на промежутках, где производная
функция имеет критические точки, где производная или не существует.

Замечание. Это верно только для внутренних точек области определения, точки на концах области определения не рассматриваются.

функция

имеет точки экстремума там, где производная

меняет свой знак. В частности, функция

имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус; и точки минимума – там, где производная меняет знак с минуса на плюс.

Примеры работы с графиками производной

Производная, основные определения и понятия.

В этой статье дадим основные понятия, на которых будет базироваться вся дальнейшая теория по теме производная функции одной переменной.

Путь x – аргумент функции f(x) и - малое число, отличное от нуля.

(читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до при условии монотонности функции на отрезке . Разность называют приращением функции f(x). соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.

Рассмотрим эти понятия на конкретном примере.

Возьмем, к примеру, функцию . Зафиксируем точку и приращение аргумента . В этом случае приращение функции при переходе от к будет равно

Отрицательное приращение говорит об убывании функции на отрезке .

Графическая иллюстрация

Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b). и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b). то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Давайте разберем это на примерах для ясности картины. При дифференцировании будем пользоваться определением производной, то есть переходить к нахождению пределов. При возникновении трудностей рекомендуем обращаться к разделу теории пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Найти производную функции в точке , используя определение.

Курсовая работа ПВЮ.docx

Не получается скачать реферат Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной. - Техническая поддержка

Курсовая работа ПВЮ.docx

Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует.

Пример 1. Рассмотрим функцию . Эта функция не имеет производной в точке 0. Значит, 0 − критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Пример 2. Точка 0 для функции не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция непрерывна в точке . а на интервале и на интервале . то точка является точкой максимума функции .

Учащимся удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция непрерывна в точке . на интервале и на интервале . то точка является точкой минимума функции .

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка минимума [2].

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение: область определения заданной функции есть множество всех действительных чисел. Найдем критические точки функции, для чего решим уравнение .

Исследуем знак производной функции на всех промежутках, на которые стационарные точки разбили множество . При . при . а при . Итак, - точка максимума функции, а - точка минимума функции.

С учащимися необходимо рассмотреть тему на наибольшее и наименьшее значение функции, обращая особое внимание на тот факт, что наибольшее (наименьшее) значение функции не является максимумом (минимумом) функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т. е. существуют точки отрезка . в которых принимает наибольшее и наименьшее на значения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее[2].

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: запишем выражение для функции в более удобном виде, воспользовавшись для этого свойством четности функции косинуса

Найдем значения аргумента, при которых . для чего решим уравнения и . Имеем следующую совокупность решений

Отрезку принадлежит только три решения уравнения .

Действительно, длина заданного в условии задачи отрезка меньше . то есть меньше разности каждой из трех арифметических прогрессий, записанной выше совокупности решений, поэтому рассматриваемому отрезку принадлежит не более одного числа каждого семейства.

Так как функция возрастает на своей области определения, то . то есть . откуда следует, что . То есть отрезку принадлежат и .

Находя значения и сравнив их. находим, что на отрезке функции имеет наибольшее значение . а наименьшее значение

§2. Применение общей схемы к исследованию функций

Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения.

В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции:

находят ее область определения;
выясняют, является ли функция четной или нечетной, является ли периодической;
точки пересечения графика с осями координат;
промежутки знакопостоянства;
промежутки возрастания и убывания;
точки экстремума и значения в этих точках;
исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю ;

На основании такого исследования строится график функции.

Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Пример 1. Исследуем функцию и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме.

1) . так как - многочлен.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной

3) График пересекается с осью ординат в точке чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение . один из корней легко найти . Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим.

4) Найдем производную функции .

. поэтому критических точек, для которых не существует, нет.

Заметим, что . если . т.е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Исследование функции с помощью производной

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим функции и , которые непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале .

Теорема Ферма. если функция в точке имеет локальный экстремум, то .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа. , где .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля. если и , то .

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши. если . то .

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке 0" alt="LaTeX formula: f'(x)> 0" src="http://helpy.quali.me/uploads/formulas/99b99dc08a0306fa22377c72319463ed8674d006.1.1.png">. то функция возрастает на этом промежутке;

б) если . то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4 ).

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции . Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума . На рисунке 6.4 значения , , , и являются точками экстремума рассматриваемой функции.

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции :

1) находим область определения функции ;

2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу:

если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке:

1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство 0" alt="LaTeX formula: f''(x)> 0" src="http://helpy.quali.me/uploads/formulas/248b05e205897b7484fb3d48d3e089c786cb632f.1.1.png"> , то функция вогнута на этом промежутке, а если , то функция выпукла на этом промежутке.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции .

Решение. Используя таблицу производных найдем производную функции: . Найдем критические точки: , ,. Нанесем числа и на координатную прямую и установим знаки производной на полученных промежутках: