в каких точках потенциальная энегия равна нулю

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила, является силовым полем (гравитационное, электрическое поле).

Сила (F, Дж/м или Н), отнесенная к единице массы (m, кг) в гравитационном поле или к единице электрического заряда (q, Кл) в электрическом поле, называется напряженностью поля (для гравитационного g = F/m, Н/кг или электрического E = F/q, Н/Кл).

Напряженность поля является градиентом потенциала в данной его точке:

- для гравитационного поля: g = – grad v 2 ;

- для электрического: E = – grad U (о знаке речь пойдет ниже).

Произведение гравитационного потенциала (v 2. Дж/кг) на массу (m, кг) материальной частицы или электрического потенциала (U, Дж/Кл) на ее электрический заряд (q, Кл) называется потенциальной энергией данной частицы (W_п = mv 2. Дж или W_п = qU, Дж).

Потенциал и напряженность поля являются основными параметрами, характеризующими силовое поле в данной его точке, независимо от наличия в ней пробного тела, ибо силовое поле само обладает энергией и массой.

Дополнение 1. Мы уже договорились, что градиентом гравитационного потенциала является напряженность гравитационного поля g = – grad v 2. Перемножив каждый из этих двух параметров на массу, мы получим, соответственно, значение силы (F = mg) и потенциальной энергии (W_п = mv 2 ). Следовательно, силу тоже можно считать градиентом энергии в данной точке поля (F = – grad W).

Аналогично для электрического поля: E = – grad U, F = qE, W_п = qU, то и F = – grad W.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis – шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины от одной точки пространства к другой. И если F = – grad W, то работа сил вдоль замкнутой траектории в потенциальном поле всегда равна нулю.

Поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии в потенциальном поле всегда нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальной поверхности.

Потенциальная энергия определяется двумя способами:

- упрощенный – для однородного поля;

- общий – для неоднородного поля.

Потенциальное поле является однородным, если напряженность во всех его точках имеет одно и то же значение.

Для гравитационного поля это правило можно применить только у поверхности Земли (скажем, в лабораторном опыте). В этом случае для упрощения расчетов значение потенциальной энергии пробного тела на поверхности Земли принимается равным нулю, а ее значение в любой другой точке определяется из уравнения:

W_п = mgh, Дж

где g – напряженность гравитационного поля (Н/кг), а h – вертикальное расстояние (м) от поверхности Земли до пробного тела массой m (кг).

Здесь знак перед значением потенциальной энергии принципиального значения не имеет.

Дополнение 2. К сожалению, многие учебники на этом и завершают определение потенциальной энергии. Но не все. Взять, к примеру, Общий курс физики Сивухина, Москва, МФТИ, 2005 или американский курс Физики в переводе под редакцией Ахматова, Москва, Наука, 1974.

Здесь рассматривается:

- уже известный нам частный случай определения потенциальной энергии пробного тела в однородном поле тяжести у поверхности Земли (том 1, стр. 144-145 первого источника и часть III, стр.152-157 второго источника);

- и общий случай определения потенциальной энергии гравитационного притяжения между неподвижной массой (Земля) и пробным телом (том 1, стр. 145-146 первого источника и часть III, стр.157-159 второго источника).

Общий случай расчета дает отрицательное значение потенциальной энергии:

- уравнение (25.6) U = – GMm/r в первом источнике и

- уравнение Ur = – GMm/r – во втором.

Отрицательное значение потенциальной энергии объясняется следующим образом:

- в первом источнике (цитата): «Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна»;

- во втором источнике дано доказательство правильности уравнения Ur = – GMm/r.

Для общего случая, когда расстояние между двумя массами подвергается большим изменениям, силы притяжения между ними и напряженность поля изменяются в зависимости от расстояния и потенциальное поле уже не может быть однородным. Каково же точное выражение для потенциальной энергии в этом, более общем случае?

Известно, что свободно падающее к центру поля тело теряет свою потенциальную энергию, которая переходит в кинетическую. Значит, потенциальная энергия с уменьшением расстояния (r) между массами (M и m) уменьшается и, наоборот, с увеличением расстояния – увеличивается.

Учитывая, что в известном уравнении W_п = – GMm/r радиус (расстояние между массами) находится в знаменателе, то бесконечно большое расстояние однозначно указывает на нулевое значение потенциальной энергии в бесконечности.

Следовательно, с увеличением расстояния потенциальная энергия увеличивается до нуля. Такое может быть только в том случае, если потенциальная энергия во всяком другом положении отрицательна.

Вывод. потенциальная энергия для всех материальных частиц отрицательна.

Значит, значение гравитационного потенциала v 2 = W_п /m = – GM/r тоже отрицательно. И подтверждением этому является уравнение (3) из раздела «Тяготение» (стр. 772) Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного раздела Большой Советской Энциклопедии.

Аналогично определяется значение потенциальной энергии и электрического потенциала в электрическом поле.

Пивоваров Валерий Иванович

Яворский Б.М. Детлаф А.А. Справочник по физике, 1985 г. стр. 259

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна:

Потенциальная энергия материальной точки периодически изменятся от 0 до m ω 2 A 2 /2, совершая гармонические колебания с циклической частотой 2 ω и амплитудой m ω 2 A 2 /4 около среднего значения, равного m ω 2 A 2 /4

(Смещение записывается через синус, поэтому в выражении потенциальной энергии стоит косинус – отличие от «Ответа» и «Савельева». )

Потенциальная энергия. Потенциал поля.

9.1. Понятие потенциальной энергии .

Определение. стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между любыми двумя точками не зависит от выбора пути, а зависит только от положения этих точек, называется потенциальным полем (силы - консервативными ).

Можно иначе: если работа сил на замкнутом пути равна нулю, то поле потенциально.

Для потенциального поля можно ввести понятие потенциальной энергии. исходя из следующих обстоятельств:

1. в системе, где действуют только консервативные силы, всякая работа связана лишь с изменением конфигурации системы (взаимного расположения тел);

2. работа сил равна нулю, если система возвращается к исходной конфигурации.

Определение. запас работы, определяемый начальной конфигурацией тел системы, называется потенциальной энергией системы .

Пример. тело в поле силы тяжести и растянутая пружина обладают определенным запасом работы, которую они могут совершить.

Заметим, что запас работы можно отсчитывать от разных конфигураций.

Из механики известно, что работа консервативных сил связана с изменением потенциальной энергии. Система "заряд — электростатическое поле" обладает потенциальной энергией (энергией электростатического взаимодействия). Поэтому, если не учитывать взаимодействие заряда с гравитационным полем и окружающей средой, то работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле, равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком:

Если W_p2 = 0, то в каждой точке электростатического поля потенциальная энергия заряда q₀ равна работе, которая была бы совершена при перемещении заряда q₀ из данной точки в точку с нулевой энергией.

Пусть электростатическое поле создано в некоторой области пространства положительным зарядом q (рис. 1).

Будем помещать в точку М этого поля различные пробные положительные заряды q₀. Потенциальная энергия их различна, но отношение для данной точки поля и служит характеристикой поля, называемой потенциалом поля в данной точке:

Единицей потенциала в СИ является вольт (В) или джоуль на кулон (Дж/Кл).

Потенциалом электростатического поля в данной точке называют скалярную физическую величину, характеризующую энергетическое состояние поля в данной точке пространства и численно равную отношению потенциальной энергии, которой обладает пробный положительный заряд, помещенный в эту точку, к значению заряда.

Потенциал — это энергетическая характеристика поля в отличие от напряженности поля, являющейся силовой характеристикой поля.

Необходимо отметить, что потенциальная энергия заряда в данной точке поля, а значит, и потенциал зависят от выбора нулевой точки. Нулевой эта точка называется потому, что потенциальную энергию (соответственно потенциал) заряда, помещенного в эту точку поля, уславливаются считать равной нулю.

Нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно, поэтому потенциал можно определить только с точностью до некоторой постоянной, значение которой зависит от того, в какой точке пространства выбрано его нулевое значение.

В технике принято считать нулевой точкой любую заземленную точку, т.е. соединенную проводником с землей. В физике за начало отсчета потенциальной энергии (и потенциала) принимается любая точка, бесконечно удаленная от зарядов, создающих поле. Если нулевая точка выбрана, то потенциальная энергия (соответственно и потенциал в данной точке) заряда q₀ становится определенной величиной.

На расстоянии r от точечного заряда q, создающего поле, потенциал определяется формулой

При указанном выше выборе нулевой точки потенциал в любой точке поля, создаваемого положительным зарядом q, положителен, а поля, создаваемого отрицательным зарядом, отрицателен:

По этой формуле можно рассчитывать потенциал поля, образованного равномерно заряженной проводящей сферой радиусом R в точках, находящихся на поверхности сферы и вне ее. Внутри сферы потенциал такой же, как и на поверхности, т.е.

Если электростатическое поле создается системой зарядов, то имеет место принцип суперпозиции. потенциал в любой точке такого поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

Зная потенциал поля в данной точке, можно рассчитать потенциальную энергию заряда q0 помещенного в эту точку: W_p1 = q₀ . Если положить, что W_p2 = 0, то из уравнения (1) будем иметь

Потенциальная энергия заряда q₀ в данной точке поля будет равна работе сил электростатического поля по перемещению заряда q0 из данной точки в нулевую. Из последней формулы имеем

Потенциал поля в данной точке численно равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в нулевую (в бесконечность).

Потенциальная энергия заряда q₀ помещенного в электростатическое поле точечного заряда q на расстоянии r от него,

Если q и q₀ — одноименные заряды, то , если q и q₀ — разные по знаку заряды, то .

Отметим еще раз, что по этой формуле можно рассчитать потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов, если за нулевое значение W_p выбрано ее значение при r = бесконечности.

Если электростатическое поле образовано системой n точечных электрических зарядов, то потенциальная энергия системы определяется по формуле

где — потенциал поля, созданного всеми зарядами, кроме заряда q_i. в той точке поля, где находится заряд q_i.